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Avatar 9 - Meditaciones autosimilares

¿Puede existir un relato fractal? ¿Puede haber literatura no lineal? ¿O cuál es la dimensión de una historia? ¿Acaso puede ser racional? ¿Acaso puede ser fraccionaria? Estas preguntas vinieron a mi mente mientras reflexionaba sobre el conjunto de Mandelbrot que se encierra a sí mismo a diferentes escalas. Como los sueños que pueden darse unos dentro de otros sin aparente límite.

Recuerdo el relato de Pedro Páramo de Juan Rulfo, relato que no es lineal. Es la historia de Pedro Páramo, pero también es la historia de su hijo Juan Preciado; es la historia de la Comala de hoy, pero, también, la del pasado. Es una yuxtaposición y un solapamiento de espacios y tiempos sin orden aparente pero de concreción evidente como un todo.

El Jardín de Senderos que se Bifurcan y El Aleph son dos cuentos magníficos de J. L. Borges que, también, ilustran vívidamente la fractalidad de la realidad. En el primero cada giro de una historia es un giro de la historia (si existiese una sola) del mundo. Cada giro es una bifurcación del jardín que es el universo que, más bien, es un multiverso. En el segundo la totalidad es parte de la parte y ésta, a su vez, es parte de la totalidad, a la manera de las categorías transinfinitas de Cantor: “… vi el Aleph, desde todos los puntos, vi en el Aleph la tierra, vi mi cara y mis vísceras, vi tu cara, y sentí vértigo y lloré, porque mis ojos habían visto ese objeto secreto y conjetural, cuyo nombre usurpan los hombres, pero que ningún hombre ha mirado: el inconcebible universo.”

Hace dos años atrás, estudiando algunas estructuras que Marcelo Ramírez, de la carrera de Física de La Paz, había encontrado y que tenían carácter fractal (un ejemplo aproximado de las cuales vemos en la figura), dimos, al mismo tiempo, con un artículo titulado Lyapunov exponents of the logistic map with periodic forcing escrito por Mario Markus, un físico que trabaja en el Instituto Max Planck de Alemania en el área de dinámica no lineal. Hace dos semanas atrás, un amigo filósofo de vuelta de Chile, con algunos textos recién adquiridos, me dice “pongo a consideración tuya estos poemas”. El autor, para sorpresa mía, era, también, Mario Markus. Extraigo de su libro Punzadas, el siguiente poema

La hilandera

De la soledad suelen surgir hebras negras
que en los callejones, al seguirlas,
con la noche se enredan.

Dicen que es mejor no jugar con ellas,
pues en una punta llevan veneno
y en la otra
el rabo ciego de la culebra.

Dicen también que hay una hilandera
tejedora de hebras blancas, de seda,
que no vive en el callejón
donde viven las rameras.

He salido a buscar a la hilandera
pero por más que busco y busco
sólo encuentro hebras negras.

Y, entonces, me pregunto si acaso existe la casualidad (o la causalidad velada que, a veces, es fractalidad).

Avatar 8 - Sobre la física en los procesos vitales

Un amigo me ha preguntado qué dice la física sobre la muerte. Le he respondido que, primeramente, deberíamos entender qué dice la física sobre la vida o lo qué no dice sobre la muerte y buscar por reductio ad absurdum alguna conclusión valedera. Y pensando en todo esto recordé que en la naturaleza existe lo que parece imposible… un animal inmortal.

 

Su nombre científico es turritopsis nutricula. Es una medusa de mar de la clase hidrozoo que cuando alcanza la madurez sexual revierte su desarrollo para regresar a un estado de pólipo y comenzar su ciclo vital nuevamente. Esto lo hace mediante el proceso denominado transdiferenciación. Entendemos dicho proceso porque los biólogos que han estudiado células madre los últimos 30 años han investigado un proceso similar más básico denominado diferenciación. Este es el proceso por el cual una célula embriónica no especializada adquiere las características de una célula especializada como las de un corazón, hígado o músculo. La diferenciación está controlada por la interacción de los genes de una célula con las condiciones físicas y químicas fuera de la célula, usualmente a través de indicadores compuestos por proteínas inmersas en su superficie. En la transdiferenciación, estas células, propias de un tipo de tejido, se diferencian hacia células de otro tipo de tejido. Esta capacidad hace de la turritopsis nutricula un animal biológicamente inmortal.

Pero podemos preguntarnos ¿sabe la turritopsis nutricula que esta viva? Porque ¿qué es la muerte sino la disolución de la conciencia? Y, entonces, ¿qué es la conciencia? Roger Penrose, en su libro The Emperor’s New Mind, ha dicho que los procesos racionales concientes no pueden ser considerados algorítmicos ni, por lo tanto, corresponden al funcionamiento de una máquina de Turing, sino, más bien, estos procesos deben ser explicados considerando efectos cuánticos (en particular mediante el colapso de la función de onda). Ahora bien, si hemos de considerar efectos cuánticos esto quiere decir que todo hecho conciente sería sujeto de una de las posibles interpretaciones que se adscriben a la mecánica cuántica. El más probable, de todos los posibles, es el que considera que la realidad es una suma de historias o promedio de todas las posibilidades asociadas a un evento antes de su realización o medición (al colapsar su función de onda).

Sin embargo, en 1957, Hugh Everett propuso una interpretación diferente a la mecánica cuántica, denominada interpretación de los muchos mundos, que afirma la realidad objetiva de una función de onda universal, pero niega la realidad del colapso de la función, lo que implica que todas las posibles historias alternativas y futuros son reales – cada una representando un mundo o un universo real. Keith Lynch, un empleado en DBS (una compañía comercial que Everett cofundó), recuerda que Everett creía firmemente que su teoría de muchos mundos le garantizaba la inmortalidad: su conciencia, argüía, está sujeta, en cada bifurcación [de la realidad], a seguir el sendero que no conduzca a la muerte – y así ad infinitum.

Pero mientras no podamos evitar la muerte a la manera de la turritopsis nutricula o a la manera de los muchos mundos, me quedo con las palabras de Richard Dawkins (autor de The Selfish Gene): “Vamos a morir y ello nos hace los afortunados. La mayoría de las personas nunca van a morir porque nunca van a nacer. Las potenciales personas que podrían haber estado aquí en mi lugar pero que, de hecho, nunca verán la luz del día superan los granos de arena de Arabia. Estos fantasmas no natos ciertamente incluyen mayores poetas que Keats, mayores científicos que Newton. Sabemos esto porque el conjunto de posibles personas permitidas por nuestro ADN excede masivamente el conjunto de personas actuales. Es a pesar de estas sorprendentes probabilidades que tú y yo, simples como somos, estamos aquí.”

Avatar 8 - De monstruos y bifurcaciones

El género de la literatura de ficción está plagada de inmortales, la mayoría de ellos, monstruos. Pero a parte del ubicuo vampiro, también, está el famoso monstruo creado por Mary Shelley en su novela Frankenstein or the Modern Prometheus, obra en la que su protagonista Victor Frankenstein vence a la muerte al animar de vida, mediante procesos galvánicos, un cuerpo compuesto por varios deshechos humanos. Como el conocimiento que tenemos de esta novela se debe mayormente a las versiones cinematográficas (poco fieles a la novela original, mayormente) me tomo la libertad de copiar algunos pasajes del capítulo 3 alusivos a la animación del monstruo en particular:

 

“[…] Para examinar los orígenes de la vida debemos primero conocer la muerte. Me familiaricé con la anatomía, pero esto no era suficiente. Tuve también que observar la descomposición natural y la corrupción del cuerpo humano. […] Me detuve a examinar y analizar todas las minucias que componen el origen, demostradas en la transformación de lo vivo en lo muerto y de lo muerto en lo vivo. […] Cuando me encontré con este asombroso poder entre mis manos, dudé mucho tiempo en cuanto a la manera de utilizarlo. A pesar de que poseía la capacidad de infundir vida, el preparar un organismo para recibirla, con las complejidades de nervios, músculos y venas que ello entraña, seguía siendo una labor terriblemente ardua y difícil. En un principio no sabía bien si intentar crear un ser semejante a mí o uno de funcionamiento más simple; pero estaba demasiado embriagado con mi primer éxito como para que la imaginación me permitiera dudar de mi capacidad para infundir vida a un animal tan maravilloso y complejo como el hombre.”

Nuevamente en esta novela vemos renacidos los mitos del homúnculo alquímico y del golem judío. Es la búsqueda de la regeneración continua y de la reanimación de los sentidos. Es la negación de la muerte. Pero ¿qué es la vida?

Si la vida fuese conciencia y la conciencia tuviera alternativas múltiples, como Hugh Everett lo propuso, de cierto modo, en 1957, entonces J. L. Borges lo ha ilustrado magníficamente en su cuento El Jardín de Senderos que se Bifurcan del que, también, extraigo estos pasajes:

“[...] En todas las ficciones, cada vez que un hombre se enfrenta con diversas alternativas, opta por una y elimina las otras; en la del casi inextricable Ts'ui Pên, opta —simultáneamente— por todas. Crea, así, diversos porvenires, diversos tiempos, que también, proliferan y se bifurcan. [...] El jardín de los senderos que se bifurcan es una imagen incompleta, pero no falsa, del universo tal como lo concebía Ts'ui Pên. A diferencia de Newton y de Schopenhauer, su antepasado no creía en un tiempo uniforme, absoluto. Creía en infinitas series de tiempos, en una red creciente y vertiginosa de tiempos divergentes, convergentes y paralelos. Esa trama de tiempos que se aproximan, se bifurcan, se cortan o que secularmente se ignoran, abarca todas las posibilidades. No existimos en la mayoría de esos tiempos; en algunos existe usted y no yo; en otros, yo, no usted; en otros, los dos. En éste, que un favorable azar me depara, usted ha llegado a mi casa; en otro, usted, al atravesar el jardín, me ha encontrado muerto; en otro, yo digo estas mismas palabras, pero soy un error, un fantasma. […]”

Lo interesante es que Borges escribió este cuento en 1941, dieciséis años antes que Everett propusiera su teoría.

Avatar 8 - Transdiferenciación

Las células madre (CM) han logrado en los últimos veinte años crear esperanza en el progreso de las ciencias médicas de una manera jamás siquiera soñada hasta ahora. La capacidad de estas células de autorenovación por periodos largos les permiten vivir el tiempo necesario sin diferenciarse (i.e. sin adquirir características específicas de una célula especializada en particular) para poder dar origen a otras células. Principalmente las CM pueden dar origen a células maduras diferenciadas y funcionales, pertenecientes, en principio, a cualquier tipo de tejido u órgano. Estas características han llevado a pensar a los investigadores en diversas aplicaciones, siendo posible su uso en la comprensión de estadios tempranos del desarrollo embrionario o del desarrollo y funcionamiento de los tejidos. Igualmente el potencial uso de las CM en pruebas de nuevas drogas, sin arriesgar la vida de seres humanos y, también, la promesa de la medicina regenerativa: la de poder crear o reparar tejidos u órganos completos, haciéndonos prácticamente inmortales.

Los primeros experimentos estuvieron restringidos solamente a CM de ratones. No fue sino hasta diez años después que se empezaron a utilizar CM humanas, obtenidas de embriones fertilizados in-vitro. Estas células así obtenidas son denominadas células madre embrionarias (CME). Las mismas presentan la propiedad de autorenovación y además de pluripotencialidad, i.e. que son capaces de generar cualquier tipo de célula. Aunque los orígenes del estudio de células madre, en realidad, comenzó con el descubrimiento de ciertas propiedades regenerativas en algunos órganos de los seres vivos, posteriormente se confirmó que las células madre no sólo podían ser obtenidas a partir de embriones sino que también existían CM en medio de células diferenciadas, es decir, en tejidos ya desarrollados. Estas células se denominan células madres adultas o somáticas (CMA), las cuales han sido encontradas en diversas zonas como ser en la médula espinal, en el cerebro, músculos, piel, etc., siendo la principal función de estas CMA la mantención y reparación de los tejidos donde se encuentran inmersos.

El origen de las CMA aún sigue siendo un misterio, puesto que las CME se diferencian rápidamente y en las primeras etapas embrionarias dando origen a células diferenciadas que generan todo el organismo. Las CMA, a pesar que también pueden autorenovarse por periodos largos, aunque con mayor dificultad que las CME, sólo pueden generar células diferenciadas pertenecientes al tejido donde se encontraban, es decir, no son pluripotenciales.

Recientemente investigaciones en CMAs han mostrado un fenómeno inesperado, denominado transdiferenciación o plasticidad, el cual consiste en la posibilidad de que CMA obtenidas en un tejido son capaces de generar células características de tejidos totalmente distintos. Por ejemplo, se tienen evidencias de que CMAs encontradas en la sangre (la cual se origina en la etapa embrionaria a partir de la capa germinativa primaria llamada mesodermo) pueden originar células musculares (de origen también mesodérmico) al igual que en células nerviosas (de origen ectodérmico).

El fenómeno de transdiferenciación, para ser aceptado, debe cumplir los siguientes requisitos: primero se debe confirmar la existencia de CMAs en un cierto tejido, labor por cierto muy complicada ya que el número de las mismas es en general muy reducido, además de encontrarse dispersas en el tejido. Segundo, una vez comprobada la existencia de CMAs se debe probar que estas células son capaces de generar células que normalmente aparecen en un tejido diferente del cual se obtuvieron las CMAs. Este paso usualmente se logra colocando marcadores en las CMAs que permitan rastrearlas en el nuevo tejido. El estudio puede ser hecho in-vivo o in-vitro. Finalmente, se debe demostrar que las células originadas por las CMAs son capaces de integrarse al tejido, sobrevivir y ser funcionales como cualquier otra célula madura del tejido en cuestión. Los datos actuales han logrado probar que las nuevas células originadas por CMAs provenientes de un tejido diferente, logran integrarse pero sólo muestran algunas características de una célula madura plenamente funcional.

El fenómeno de la transdiferenciación aún sigue en debate, ya que los experimentos sólo han demostrado resultados parciales, nada contundentes. Los opositores a esta teoría argumentan que los resultados podrían ser explicados de dos maneras distintas: las CMA de un tejido donante podrían fusionarse con células del tejido huésped o que las células madre del donante emitirían factores que estimulan el trabajo de las CMA presentes en el tejido huésped.

En fin, el estudio de las células madre es muy apasionante, prueba de ello es la constante aparición de preguntas que esperan ansiosas una respuesta.

Avatar 8 - Inmortal

En aquellos años cuando aún creía que la muerte era inevitable, cuando vivía el presente de manera eterna, mis ojos contemplaron la historia que les relataré:

Por aquellos tiempos mis rumbos derivaron en las montañas heladas de Kavkazskiy Khrebet. En estas cimas donde el mundo entero reposa, gran cantidad de abedules y pinos sincronizados en sutil danza bajo el níveo terreno reconfortaban mi espíritu soñador. De pronto, la paz del lugar fue destruida por gritos de dolor. Aunque el origen era lejano y los ecos sobre las rocas y los árboles me desorientaron por algún tiempo, finalmente encontré el origen de tan desgarradores lamentos. Un hombre, casi desnudo, una vez seguramente buen mozo, sobre la roca helada, encadenado de manos y pies, pálido de dolor, sufría inmensa agonía. Un cuervo mientras tanto hacía festín con su cuerpo, lentamente y sin dar importancia a los gritos y retorcijos el mismo comía su hígado, aunque no por completo. Quedé estupefacto ante aquel episodio, inmóvil más por la incredulidad que por el frio que comenzaba a medida que el Sol desaparecía detrás de la cordillera.

 

Cuando volví en mí, al fin mis miembros obedecieron y me acerqué hasta aquel pobre que aún gemía por el dolor que la herida le procuraba. Sin ninguna herramienta más que mis manos y cuanta roca podía levantar, intenté liberar al maltrecho encadenado. Vanos fueron mis intentos, agotado al fin, quedé dormido en medio del frio anochecer de la montaña.

 

Una mano tibia rozó mi frente. Era él, aún con sus cadenas sus dedos rozaban dulcemente mi frente, mientras sus palabras gemían: “Hijo, hijo descansa, no te acongojes, detén tu pesar, tu destino y mi salvación empiezan ahora”.

Recuperado, al fin me di cuenta que mis intentos para liberarlo serían inútiles. Entonces pensé que tal vez conversar y escuchar sería mi mejor ayuda. Mi sorpresa fue grande cuando caí en cuenta de la salud del encadenado. Estaba cansado y desgatado por su tortura; pero estaba vivo y la sangre ya no fluía por la herida, de hecho, sólo el rastro de la sangre seca quedaba. ¿Quién eres? ¿Qué eres?, le interrogué sorprendido.
Mi nombre es Prometeo afirmó, fui encadenado a este castigo por Zeus, señor de los dioses del Olimpo. Este es el precio que pago por mi amor a los humanos, porque les concedí la vida y les enseñé a utilizar los recursos de la naturaleza, les dí el fuego que Zeus les privó. Soy un titán, inmortal, igual que tú lo serás pronto. No me arrepiento de todo este martirio, pues el hombre logrará sobreponerse a la naturaleza y a los mismos dioses y, por mi parte, pronto vendrán a salvarme y tú eres parte de esa misión.

Continué toda la noche, en una plática de fantástica realidad, que para contárselas necesitaría tomos enteros y quizá mi memoria ya no sea fiel a las palabras pronunciadas.

Prometeo, entre muchas de sus virtudes, afirmaba poder ver el futuro, por eso, no le sorprendió mi aparición en aquel lugar perdido del mundo, ni el papel que desempeñaría en su liberación ni en la conquista del conocimiento del hombre. Una de mis mayores intrigas sin duda fue aquello que había dicho, “serás inmortal”. ¿Acaso era posible? ¿Un simple ser humano podría engañar a la inexorable muerte?

“Se paciente y perseverante, la respuesta está dentro de ti, busca y no pares de buscar, usa la razón y encontrarás tu respuesta. Ahora vete que debes cumplir con tu parte de esa historia”.

Aunque lleno de dudas y con muchas preguntas acepté marchar, pronto encontré ayuda. El llamado Hércules, hombre fuerte y muy gentil respondió a mi llamado de auxilio y emprendió veloz carrera en la búsqueda. Aunque intenté seguir el ritmo, me fue imposible. Cuando al fin llegué al lugar, Prometeo había sido liberado, sólo las cadenas rotas quedaron entre las rocas y en mi mente y mi corazón sembradas las dudas y las esperanzas. “Algún día seré inmortal”.

Avatar 7 - El arte de Escher y la geometría hiperbólica

Una interesante aplicación de la geometría hiperbólica en el arte, puede ser vista y explicada en algunas obras del famoso Maurits Cornellis Escher. En particular, encontré un interesante trabajo realizado por Madhu Gupta publicado en la IEEE. En este trabajo se analiza un grabado en madera denominado Círculo límite IV, o también conocido como el Cielo e Infierno.

En el grabado se observan ángeles y demonios que forman un teselado que cubre toda la superficie. Las figuras se van reduciendo de tamaño del centro hacia afuera radialmente, de tal modo que su tamaño disminuye, hasta perderse en los límites del grabado.

Para realizar este tipo de teselado es necesaria una transformación matemática que logre realizar desplazamientos de la figura base, manteniendo algunas características invariantes, que permitan reconocer cierta similitud entre las figuras transformadas y la figura original. Además, la transformación debe hacer posible que una red infinita quepa en un lienzo finito y, por lo tanto, se debe esperar que los desplazamientos y tamaños de la figura base no sean constantes y, por el contrario, que el tamaño de la figura base tienda a cero en los límites.

Un tipo de transformaciones en el espacio de números complejos que cumplen estos requisitos son las llamadas transformaciones de Möbius:

$T(Z)=W=\frac{aZ+b}{cZ+d}$

donde a, b, c, d son constantes complejas tal que

$ad-bc \neq 0$ y $T(\infty)\equiv \frac{a}{c}$ y $T(-\frac{d}{c})\equiv \infty$

Entre las propiedades interesantes de esta transformación se pueden destacar tres. La primera es que la transformación mantiene la forma de círculos y rectas; también conserva el ángulo en signo y valor después de realizada la transformación. Estas características satisfacen el requerimiento de que la transformación mantenga reconocible la figura base después de cada transformación. La otra característica importante consiste en que con la selección adecuada de una métrica, la transformación de Möbius mantiene invariable la distancia entre dos puntos $Z_1$ y $Z_2$ y la correspondiente distancia de sus imágenes $T(Z_1)$ y $T(Z_2)$. Esta propiedad sin duda se verá reflejada en el escalamiento de las distancias y los tamaños. La métrica que satisfaga esta condición deberá ser invariable a transformaciones de Möbius, siendo una alternativa la razón cruzada o cualquier función monotónica dependiente de esta razón:

$\frac{(T_1-T_3)(T_2-T_2)}{(T_1-T_4)(T_2-T_3)}=\frac{(Z_1-Z_3)(Z_2-Z_4)}{(Z_1-Z_4)(Z_2-Z_3)}$

donde $T_1, T_2, T_3$ y $T_4$ son las transformaciones de $Z_1, Z_2, Z_3$ y $Z_4$ respectivamente.

Al introducir una métrica, básicamente se está hablando del uso de una nueva geometría que cumpla con las restricciones establecidas. Es posible demostrar que utilizando uno de los modelos de la geometría no euclidiana hiperbólica, particularmente el modelo del disco abierto de Poincaré, la distancia hiperbólica entre dos puntos está dada por:

$d(F_1, F_2)=ln \frac{d_E(F_1, Q) d_E(F_2, P)}{d_E(F_2, Q) d_E(F_1, P)}$

donde $d_E$ es la distancia euclidiana y además Q y P son los puntos donde la recta hiperbólica intersecta el círculo unitario de Poincaré.

En resumen, podemos decir que el grabado de Escher puede ser explicado matemáticamente como una invarianza a las transformaciones de Möbius en el dominio de los números complejos, al ser medidos con una métrica de distancia hiperbólica, inducida por la razón cruzada invariante con el modelo de disco abierto del espacio hiperbólico de Poincaré. Las figuras de la obra de Escher, a pesar de diferir en su tamaño, de hecho son congruentes bajo la métrica hiperbólica, siendo así, desde este punto de vista tan sólo un mosaico periódico con piezas de tamaño constante y periodicidad uniforme en el espacio hiperbólico.